Trigonometría

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 * 1) toc

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

1. Razones trigonométricas.
Como que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo son:


 * **Sin**: entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
 * **Cos**: entre el cateto contínuo al ángulo y la hipotenusa.
 * **Tangente**: entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contínuo.
 * **Cotangente**: entre el cateto contínuo al ángulo y el cateto opuesto.
 * **Secante**: entre la hipotenusa y el cateto contínuo al ángulo.
 * **Cosecante**: entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo



2. Signos de las razones trigonométricas.
El signo depende en el cuadrante que se halle las funciones trigonométricas pueden ser possitivas o negativas.
 * =  ||= **sin** ||= **cos** ||= **tag** ||= **cotag** ||= **secante** ||= **cosecante** ||
 * = 1º Cuadrante ||= + ||= + ||= + ||= + ||= + ||= + ||
 * = 2º Cuadrante ||= + ||= - ||= - ||= - ||= - ||= + ||
 * = 3º Cuadrante ||= - ||= - ||= + ||= + ||= - ||= - ||
 * = 4º Cuadrante ||= - ||= + ||= - ||= - ||= + ||= - ||





Si el ángulo se halla en el segundo cuadrante, se realiza la siguiente operación: 180- α Si el ángulo se halla en el tercer cuadrante, debemos hacer: α- 180 Si el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante, haremos: 360- α
 * 3. Reducción al primer cuadrante. **

4. Relación entre las razones trigonométricas.

 * = [[image:sincos.png]] ||
 * = [[image:tgsincos.png]] ||
 * = [[image:cosec.png]] ||
 * = [[image:sincosec.png]] ||
 * = [[image:tagsec.png]] ||
 * = [[image:cotagcosec.png]] ||
 * = [[image:cossin.png]] ||
 * = [[image:coscos.png]] ||

5. Principales razones trigonométricas
media type="youtube" key="Zo1fWl8mMzo" height="385" width="480"


 * =  ||= **0º ** ||= **30º ** ||= **45º ** ||= **60º ** ||= **90º ** ||= **180º ** ||= **270º ** ||= **360º ** ||
 * = **sin** ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">0 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">1 /2 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">√2/2 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">√3/2 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">1 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">0 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">-1 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">0 ||
 * = <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">**cos[[image:http://www.rinconmatematico.com/latexrender/pictures/c7f3afd0d823773fb73b2f1760e51629.png width="9" height="7" align="absMiddle"]]** ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">1 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">√3/2 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">√2/2 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">1/2 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">0 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">-1 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">0 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">1 ||
 * = <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">**tag**[[image:http://www.rinconmatematico.com/latexrender/pictures/c7f3afd0d823773fb73b2f1760e51629.png width="9" height="7" align="absMiddle"]] ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">0 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">√3/3 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">1 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">√3 ||= ∞ ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">0 ||= - ∞ ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">0 ||
 * = <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">**cosec**[[image:http://www.rinconmatematico.com/latexrender/pictures/c7f3afd0d823773fb73b2f1760e51629.png width="9" height="7" align="absMiddle"]] ||= ∞ ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">2 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">√2 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">(2 √3)/3 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">1 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">-1 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">-1 ||= -∞ ||
 * = <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">**sec[[image:http://www.rinconmatematico.com/latexrender/pictures/c7f3afd0d823773fb73b2f1760e51629.png width="9" height="7" align="absMiddle"]]** ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">1 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">(2 √3)/3 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">√2 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">2 ||= ∞ ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">-1 ||= ∞ ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">1 ||
 * = <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">**cotag**[[image:http://www.rinconmatematico.com/latexrender/pictures/c7f3afd0d823773fb73b2f1760e51629.png width="9" height="7" align="absMiddle"]] ||= ∞ ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">√3 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">1 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">√3/3 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">0 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">0 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">0 ||= <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">0 ||

6. Teoremas del Coseno y del Seno:

 * Teorema del coseno:**

En todo triangulo, el cuadrante de un lado es igual a la suma de los cuadrantes de los otros dos, menos el doble del producto de estos lados por el cosenodel ángulo que forman.

; ;.


 * Teorema del seno:**

En todo triangulo, las longitudes de los lados son directamente proporcionales al seno de los ángulos que se oponen.




 * Ejemplo de ejercicio teorema del seno.**

Resolemos el triangulo del cual conocemos dos ángulos y el lado opuesto a uno de estos ángulos: A=75º, B=60º i a= 10 cm.

7. Ejemplo y resolución:
Primero, calculamos el tercer ángulo del triangulo:

C= 180º - (75º + 60º) = 45º

Substituimos el valor de los elementos conocidos en la expresión del teorema del seno:



Aislamos b i c i en calculamos el valor:

Y así, ya hemos resuelto el triángulo.


 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 8.5pt; letter-spacing: 1.2pt;">1.De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos. **

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 9pt; letter-spacing: 1.2pt;">


 * Un árbol se ve desde un cierto punto bajo un ángulo de 36º y, si nos acercamos 35 m, se ve bajo un ángulo de 45º. Calcula la altura del árbol.**



Solución: 102'11m

**Video donde te explica como resolver problemas de trigonometria:**
media type="custom" key="6093537"

Conforme el video avanza, los problemes van siendo más complexos.
_

**8.-Identitades trigonometricas**
media type="custom" key="6094219"

**Ejemplo de resolución**
Tenemos que resolver la siguiente identidad:

Para resolverla, desenvolupamos las dos partes de la igualdad para intentar obtener el mismo resultado en ambas:



Finalmente, vemos como la igualdad si se cumple.

**Resuelve les siguientes identidades trigonométricas:**

 * 1) [[image:1_.1.gif]]
 * 2) [[image:2.1.gif]]
 * 3) [[image:3.1.gif]]
 * 4) [[image:4.1.gif]]
 * 5) [[image:5.1.gif]]

= **Solució:** =
 * 1) [[image:1.2.gif]][[image:1.3.gif]]
 * 2) [[image:2.2.gif]][[image:2.3.gif]]
 * 3) [[image:3.2.gif]]
 * 4) [[image:4.2.gif]]
 * 5) [[image:5.2.gif]]

Estos problemas estan extraidos de la página []

El video esta extraido de la página de youtube del usuario asesoriasdematecom: []

Aqui os dejamos unos problemas de razones trigonométricas subidos al Slideshare.
media type="custom" key="6128603" Aqui os dejamos este ejercicio más de identidades para simplificar: Ésta identidad la hemos encontrado en la página de []

=8.1 Identitats trigonomètriques:=

=
<span class="googie_link" style="color: #000000;">Una igualtat trigonomètrica és una identitat si, a partir del desenvolupament d'un dels dos membres s'obté l'altre membre, o bé, si desenvolupant per separat cada membre, s'arriba a una mateixa expressió. Moltes vegades cal utilitzar igualtats trigonomètriques ja conegudes per iniciar, seguir o completar el desenvolupament del membre o membres de la igualtat. Les fórmules d'addició i les de transformació de sumes en productes que ja hem estudiat a la unitat de trigonometria són exemples d'identitats trigonomètriques. ===== Les identitats són útils quant cal simplificar expressions en què intervenen funcions trigonomètriques. També són la base per a calcular els valors de les funcions trigonomètriques.

<span class="googie_link" style="color: #000000;">Hi ha equacions trigonomètriques que no tenen solució. Per exemple, l'equació sin3x=2 no té solució, ja que el sinus de qualsevol angle ha de ser sempre un número que pertanyi a l'interval [-1, 1].

**Abans d'iniciar les identitats trigonomètriques cal tenir present les raons trigonomètriques següents:**
<span class="googie_link" style="color: #000000;"> <span class="googie_link" style="color: #000000;">


 * 1. Verifica la següent identitat:**

<span class="googie_link" style="color: #000000;">

** L'anterior igualtat no és una identitat.
 * 2. Aquesta igualtat, és una identitat?


 * 3. Digues si aquesta igualtat és una identitat:**

Són identitats


 * 4. Comprova que l'igualtat** <span class="googie_link" style="color: #000000;">**[[image:1.png]]és una identitat:**

//Resolució:// Desenvolupant el primer membre tenim:



Fixa't que hem utilitzat les igualtats trigonomètriques:

<span class="googie_link" style="color: #000000;">


 * 5. Demostra la igualtat següent:**