Funciones+logarítmicas

¿Qué es un logaritmo?

Es la función inversa de la función exponencial de base a, de manera que el numero y tal que ay = x, recibe el nombre de logaritmo, en base a del numero x. Se expresa: La igualdad anterior, nos permite calcular algunos logaritmos de manera immediata. Por ejemplo:
 * [[image:Imatge_nova2.JPG]]
 * [[image:Imatge_3.JPG]]

[|Concepto de la funcion logarítmica]

__**Propiedades**__
A continuacion os ofrecemos un video en el cual explica estas propiedades y algunas otras que resultan interesantes. Para ver el video pulse aqui.
 * El logoritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
 * El logaritmo de una división es igual a la resta de logaritmos:
 * El logaritmo de una poténcia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la poténcia:
 * El logaritmo de un radical es igual al exponente dividiendo al logaritmo:

__**Cambio de base**__
Se puede llevar a cabo el cambio de base siguiendo la relación siguiente:



__**Otras propiedades**__
donde //a// es cualquier numero.
 * Tiene límites infinitos en 0+ i +[[image:infiinit.JPG]].
 * El limite de cualquier logaritmo de numero 1 es igual a 0:
 * Un logaritmo de la misma base y del mismo numero es igual a 1: [[image:21212121212.JPG]]

__**Ejemplos de logaritmos aplicados en la vida real**__
Un ejemplo de uso de los logaritmos es por ejemplo, si conoces la tasa de crecimiento promedio de una poblacion, y quieres saber cuántos años tardará en llegar a cierta cantidad (por ejemplo duplicarse) necesitas el logaritmo. Para que entiendas este ejemplo, dada una población (base) y otra cantidad a la que hay que llegar (potencia), cuántas veces hay que aplicar la tasa de crecimiento (exponente) para llegar a esa catidad; lo que necesitas obtener es el exponente, por lo que usas logaritmos.

Una curiosidad de aplicaciones de logaritmos en la vida real es la siguiente, en el testamento de Benjamin Franklin, famoso científico, éste donaba 1.000 libras a los habitantes de Boston, a condición de que se prestasen al 5% a artesanos jóvenes. Según Franklin, al cabo de 100 años, se habrían convertido en 131.000 libras. Comprobemos si esto es cierto: El capital final al cabo de esos 100 años será //x// = 1.000 · 1,05100. Para calcular esa enorme potencia usaremos los logaritmos:

//x// = 1.000 · 1,05100; log //x// = log 1.000 + 100 · log 1,05

log //x// = 3 + 100 · 0,0212 = 5,12; //x// = 105,12 = 131.825,67 libras

Otro beneficio de los logaritmos es en el campo de la química, ya que nos permite ahorrarnos el engorro de usar comas en numeros pequeños y a la vez nos podemos evitar poner numerosos ceros en los numeros grandes. Otro logaritmo muy famoso en el mundo de la quimica es el logaritmo de pH, que se utiliza para calcular el nivel de acideza de determinados produtos. El logaritmo es el siguiente:



Y estos son unos ejemplos de los logaritmos en otro campo que no sea el de las matemáticas, de esta manera podemos ver la utilidad de los logaritmos y la capacidad de simplificacion con algunos numeros.

-Dominio -Recorrido -Intervalos -Corvatura -Puntos de inflexión -Máximos relativos
 * Características de las funciones logaritmicas:**
 * -**Monotonía
 * -**Simetría

__**Ejemplos de ejercicios**__

 * 1. Desarrolla aplicando logaritmos decimales la expresión [[image:enunciat_1.JPG]]:**




 * 2 . La expresión [[image:enunciat_2.JPG]]proviene de haver aplicado logaritmos neperianos a una cierta igualdad. De que igualdad se trata?**



__**Ejercicios de práctica**__

 * 1 .Calcular :**

1 ) log 2 8 = //__R : 3__// 2 ) log 3 9 = //__R : 2__// 3 ) log 4 2 = //__R : 0,5__// 4 ) log 27 3 = //__R : 1 / 3__// 5 ) log 5 0,2 = //__R :__// //__ - 1__// 6 ) log 2 0,25 = //__R :__// //__ - 2__// 7 ) log 0,5 16 = //__R :__// //__ - 4__// 8 ) log 0,1 100 = //__R :__// //__ - 2__// 9 ) log 3 27 + log 3 1 = //__R : 3__// 10 ) log 5 25 - log 5 5 = //__R : 1__// 11 ) log 4 64 + log 8 64 = //__R : 5__// 12 ) log 0,1 - log 0,01 = //__R : 1__// 13 ) log 5 + log 20 = //__R : 2__// 14 ) log 2 - log 0,2 = //__R : 1__// 15 ) log 32 / log 2 = //__R : 5__// 16 ) log 3 / log 81 = //__R : 0,25__// 17 ) log 2 3 ´ log 3 4 = //__R : 2__// 18 ) log 9 25 ¸ log 3 5 = //__R : 1__//


 * 2. Determinar el valor de x** :

1 ) log 3 81 = x //__R : 4__// 2 ) log 5 0,2 = x //__R :__// //__ - 1__// 3 ) log 4 64 = ( 2 x - 1 ) / 3 //__R : 5__// 4 ) log 2 16 = x 3 / 2 //__R : 2__// 5 ) log 2 x = - 3 //__R : 1__// //__ / 8__// 6 ) log 7 x = 3 __R : 343__ 7 ) log 6 [ 4 ( x - 1 ) ] = 2 //__R : 10__// 8 ) log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2 //__R : 3__// 9 ) log x 125 = 3 //__R : 5__// 10 ) log x 25 = - 2 //__R : 1__// //__ / 5__// 11 ) log 2 x + 3 81 = 2 //__R : 3__// 12 ) x + 2 = 10 log 5 //__R : 3__// 13 ) x = 10 4 log 2 //__R : 16__// 14 ) x = log 8 / log 2 __R : 3__ 15 ) x = log 625 / log 125 //__R : 4__// //__ / 3__// 16 ) log ( x + 1 ) / log ( x - 1 ) = 2 //__R : 3__// 17 ) log ( x - 7 ) / log ( x - 1 ) = 0,5 //__R : 10__//


 * 3. ****Si log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 y log 7 = 0,845 , entonces :**

1 ) log 8 = //__R : 0,903__// 2 ) log 9 = //__R : 0,954__// 3 ) log 5 = //__R : 0,699__// 4 ) log 54 = //__R : 1,732__// 5 ) log 75 = //__R : 1,875__// 6 ) log 0,25 = //__R :__// //__ - 0,602__// 7 ) log ( 1 / 6 ) = //__R :__// //__ - 0,778__// 8 ) log ( 1 / 98 ) = //__R :__// //__ - 1,991__// 9 ) log ( 1 / 36 ) = //__R :__// //__ - 1,556__// 10 ) log ( 2 / 3 ) = //__R :__// //__ - 0,176__// 11 ) log 0,3 = //__R :__// //__ - 0,523__// 12 ) log 1,25 = //__R : 0,097__//


 * 4. Haya el valor de x de los siguientes logaritmos.**














 * Solucions:**

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 * 5. Calcula els logaritmes següents:**

a) log232= b) log5625= c) log 1000= d) log381= e) ln e3= f) log 105= g) ln ex= h) log264= i) log3729=


 * 6. Troba el valor de “x” a les següents expressions:**

a) logx32=5 b) logx36=2 c) logx81=2 d) logx49=2 e) logx5=1/2


 * 7. ****-Expressa els següents logaritmes en funció de log2:**

a) log 64= b) log 1/16= c) log 5= d) log 0,32= e) log


 * 8.- Sabent que log2=0,30103 i log3=0,47712, calcula:**

a) log 4= b) log 5= c) log 6= d) log 9= e) log 18=

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