Geometría+en+el+plano

toc =Geometría en el plano=

Los **componentes cartesianos** se representan por un par de nombres reales
 * Modulo( longitud)
 * Dirección(línea)
 * Sentido (fletxa)

Ejemplo: (4,3) Para llegar al vector se obtienen restando las coordenadas se su extremo con el origen.

· x: 7-3= 4 · y: 5-2=3
 * Componente

> > Los componentes cartesianos del vector son:
 * Ejemplo:
 * Origen
 * Extremo

I el modulo:

**Equipolencia:** dos vectores son equipolentes si tienen igual módulo, dirección y sentido; si tienen las mismas componentes. si a = c y b = d En un conjunto de vectores equipolentes se coge un vector para que los represente y se le llama **vector libre**.


 * Vector posición**: vector en el que el punto de origen del vector coincide con el origen de coordenadas y por lo tanto, el punto del extremo del vector coincide con las componentes de éste.

El **vector unitario** de un vector es otro vector de módulo 1 con igual dirección e igual o diferente sentido. El vector unitario de un vector con igual dirección y sentido se calcula: El vector unitario de un vector con igual dirección y diferente sentido se calcula:

Operaciones con vectores **
 * 

Las operaciones con vectores dan como resultado otros vectores.

SUMA:
 * SUMA** y **RESTA** de vectores:

RESTA:

Propiedades de la suma de vectores:

Conmutativa: Asociativa: Elemento neutro: Elemento simétrico:

**MULTIPLICACIÓN** de un vector por un escalar



Relación entre el vector y el vector : - los vectores y son paralelos, tienen la misma dirección - si k es mayor que 0, y tienen el mismo sentido, pero si k es menor que 0, tiene sentido contrario a -

Propiedades de la multiplicación de vectores:

Distributiva: Asociativa: Elemento neutro:

Combinación lineal de vectores:
Una **combinación lineal** de un vector es cualquier otro vector de la forma también si se trata de dos vectores y es cualquier otro vector de la forma con k y h como nombres reales.

Por lo tanto, para que sea una combinación lineal ha de cumplir que:
 * Los vectores,[[image:vector.gif width="15" height="14"]]y[[image:w.gif width="23" height="21"]], tengan un nombre real k que haga posible la igualdad [[image:w=_k·v.gif]].
 * Tienen la misma dirección. (linealmente dependiente).

Según lo anterior pueden ser:
 * **Linealmente dependientes:** si dos vectores tienen la misma dirección. Se expresa: [[image:w=_k·v.gif]] (combinación lineal)
 * **Linealmente independientes:** si dos vectores tienen diferente dirección. Se expresa: [[image:q_no_es_igual_a_p.gif]]

La **base del plano** la forman dos vectores linealmente independientes que la cambinación lineal de estos dos vectores se puede obtener cualquier vector en el plano.

Hay muchas bases en el plano pero hay una muy importante que es la **base canónica** formada por los vectores = (1,0) y = (0,1). Ejemplo: vector = (c,d) i calculamos con las componentes (k,h) como base canónicai lo expressamos como una combinación lineal. (c,d) = k · (1,0)+ h · (0,1) (c,d)= (k, h)k = c y h = d
 * Son unitarios: [[image:e1=_e2_=1.gif]]
 * Perpendiculares [[image:e1_perpendicular_a_e2.gif]]
 * Sus direcciones coinciden con los ejes de coordenadas cartesianas y sus sentidos, con los positivos de estos ejes.

Por lo tanto, (c,d) = c · (1,0) + d · (0,1).

Producto Escalar
El producto escalar de dos vectores y es el nombre real que resulta de calcular de dos formas:
 * Expresión geometrica:[[image:vector.gif]] [[image:w.gif]] = [[image:product_esc.gif]] además aislamos,[[image:cos_de_alpha.gif]]
 * Expresión algebráica: [[image:vector.gif]][[image:w.gif]] = [[image:producto_algebraico.gif]]

Ejemplo:Dos vectores a i b forman un angulo de 60º en que a i b = 5:Calcula el modulo de.

1.Primero ponemos la fórmula 2.Aislamos con los datos que tenemos 3.No podemos saber el módulo de b,se deja de esta manera:

= 2. Ecuación de la recta en el plano: = = =

1. Ecuaciones de la recta
Dado el punto y el vector director, la recta se puede expresar como: Ecuación vectorial,

Si hacemos las operaciones entre vectores que están indicadas en la ecuación vectorial; es decir, y obtendremos:

Ecuaciones paramétricas,

A continuación, aislamos de cada una de las expresiones de la ecuación paramétrica:



después de aislar las dos las igualamos y nos queda:

Ecuación contínua.

Entonces, una vez tenemos la contínua, multiplicamos en cruz, es decir: y después lo pasamos todo a un lado para que quede igualado a 0:

Ecuación general o implícita.

Lo siguiente es aislar y a un lado y todo lo demás al otro para que quede de esta forma:

Ecuación explícita.

Donde:

Otra forma de expresar una recta es con la equación canònica: Donde:

media type="custom" key="3568494" width="109" height="108" Inserta [|este vídeo] aquí

Ejemplo: Mediante el vector director y el punto hallar las diferentes ecuaciones de la recta.


 * __1. Ecuación vectorial__

__2. Ecuación paramétrica__

__3.Ecuación continua__

__4.Ecuación general__

__5. Ecuación explícita__** y = 2x - 3

A partir de la ecuación general podemos obtenerla:
 * __6. Ecuación canónica__**

Revisar esta ecuación!
El valor de es la abscisa al origen; corresponde al valor de X cuando y = 0 El valor -3 es la ordenada al origen ; corresponde al valor de Y cuando x = 0

2. Posición relativa de rectas en el plano
media type="custom" key="454967"



-Paralelasi -Coincidentes o iguales

-Paralelas y Coincidentes i

-Incidentes

- Para calcular el ángulo :

- Para saber donde se cortan: (P) hacemos el sistema:

Ejemplo : Determina la posición relativa de las siguientes rectas:





simplificamos y nos damos cuenta de :



Por lo tanto : media type="youtube" key="6984-EaAVNE" height="385" width="480"


 * __EJERCICIO DE EJEMPLO:__

- Sabiendo que //r: qx - 2y + 4 = 0// y //s: x + (q-3)y - 7 = 0// son paralelas, calcula el valor de //q://**

· __MÉTODO 1 DE RESOLUCIÓN__   por lo tanto así que

finalmente hacemos la ecuación de segundo grado y obtenemos que

y

· __MÉTODO 2 DE RESOLUCIÓN__ por lo tanto

por lo tanto

así que

y llegamos a la misma ecuación de segundo grado que antes, con los mismos resultados.

· __MÉTODO 3 DE RESOLUCIÓN__ por lo tanto

por lo tanto

por lo tanto si

así que

a partir de ese sistema de ecuaciones, llegamos a la misma ecación de antes

3. Distancias


- Entre dos puntos :

- Un punto i una recta:

- Entre dos rectas: -Incidentes d = 0 - d(r-s) = d(Pr-s)

Ejemplo: Hallar la distancia entre los puntos P(1,2), Q(5,3)



Ejemplo2: Hallar la distancia entre las rectas r: x+2y+5=0 i s: 2x+4y+7=0 Buscamos un punto de r: En las distancias entre rectas, si las rectas son incidentes o coincidentes, la distancia es 0. Antes de empezar a hacer los problemas, hay que comprobar que las rectas sean paralelas. Ejemplo



**Bisectriz**
Es la recta que dividen el ángulo formado por dos rectas, //r// y //s//, pero se obtienen dos rectas que son perpendiculares ya que las rectas //r// y //s// forman dos ángulos.



Ejemplo:









Dedueix els valors de q perquè les rectes r i s siguin perpendiculars

r: qx-y+2=0 s:(q+2)x+(2q+1)y=0

Este tipo de problema se puede hacer de tres formas distintas.


 * 1. Haciendo el producto escalar.**

r:qx-y+2=0 → V director de r(1,q) s: (q+2)x(2q+1)y=0 →V director de s(- 2q-1,q+2)

(1,q)(-2q-1,q+2)=0 (-2q-1+q(q+2)=0 q²-1=0 q 1=1 q 2= -1
 * V director de r * V director de s = 0**


 * 2. Haciendo el producto de las pendientes**.

r: qx-y+2=0 → Mr:q s: (q+2)x+(2q+1)y=0 →Ms= __q+2__ -2q-1 Mr*Ms= -1 q __q+2__ = -1 -2q-1 q(q+2)= - (-2q-1) q²+2q=2q+1 q²-1=0
 * Mr*Ms= -1**

Si haces el sistema, te dará dos soluciones q 1= 1, q 2=-1

r:y= qx+2→Mr=q s: (q+2)x+(2q+1)y=0 (2q+1)y= -(q+2x) y= - __(q+2x__ ) = Ms (2q+1)
 * 3. Hacer el producto de las pendientes pasando las rectas a ecuación explicita.**

q __q+2__ = -1 -2q+1 q(q+2)=- (-2q-1)
 * Mr*Ms=-1**


 * Ejercicios típicos de examen**

v=(5,4) w=(-2,a) a=?

//Respuesta: (5,4)=(-2k,ak)// 5=-2k k=-5/2 > > a=-8/5 4=ak 4=-5/2·a

q²+2q=2q+1 q²-1=0

Como puedes ver, hay un punto en que llegas a la forma anterior. En este caso también has de hacer el sistema y las dos soluciones serán correctas.