Numeros+complexos

= = = = = = = = = Esta página contiene información "mezclada" y en dos idiomas. Se debería de revisar y editar de forma adecuada el contenido. = = NÚMEROS: = = [|mapaconceptual1r06.gif] =

==**__Definición de Números Complejos:__** Llamamos números complejos a todos los números de la forma //a+bi// donde a i b són números reales i //i = //rep el nom d'unitat imaginària. ==

- Si la parte real es cero, a = 0
el número complejo es de la forma //bi.// Se conoce con el nombre de **imaginario puro.**

- Si la parte imaginaria es cero, //b// = 0
el número complejo se reduce, evidentemente, a un número real. Es decir, los números complejos engloban los reales: || ||

__**Unidad imaginaria:**__
Tomando en cuenta que =|| || || ||=, se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número //i// o unidad imaginaria, definido como =|| || || ||= De donde se deduce inmediatamente que, =|| || || ||=

= Número complejo Los **números complejos** son una extensión de los números reales. Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los = = reales. = ==

====Al número //a + bi// le llamamos número complejo en forma **binómica**. El número //a// se llama parte real del número **complejo**. El número //b// se llama parte imaginaria del número complejo. Si //b// 0 el número complejo se reduce a un número real ya que //a + 0i = a.// Si //a = 0// el número complejo se reduce a **bi**, y se dice que es un número **imaginario puro**. El conjunto de todos números complejos se designa por C. Los números complejos //a + bi// y //−a − bi// se llaman **opuestos.** Los números complejos //z = a + bi// y //z = a − bi// se llaman **conjugados.** Dos números complejos son **iguales** cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.=====

**Representación grafica**
Podemos establecer que cada punto del plano es la representación grafica de un número complejo. Este punto recive el nombre de **__afijo__** del número complejo correspondiente.

**Complejos conjugados**
Dos números son complejos conjugados si tienen la parte real igual i la parte imaginaria opuesta.

**Suma y diferencia de números complejos**
//(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i//


 * Producto de números complejos**

//(a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i//


 * Cociente de números complejos**



**Módulo de un número complejo**
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por **|z|**





División
El cociente de dos números complejos es otro número complejo que s'obté en multiplicar dividend i divisor pel conjugat del divisor.

**EXPRESIONES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS**

Podemos utilizar la representación gráfica de números complejos en forma binómica, para ver otra forma. Es la forma polar.


 * El afijo es //( a,b)// . La //r// la nombraremos módulo y el ángulo //α// será el argumento.

La forma polar es la expresión del numero complejo //(z)// a partir del módulo y del argumento: // z = rα //

__Para pasar de forma binómica a polar utilizamos dos fórmulas:__

r = √ a²+b² —→ a partir del teorema de Pitágoras

tg α = __a__ ——→ α = arc tg __a__ b b


 * Ejemplo:

; ** (-1,-1) __Para pasar de la forma polar a la binómica:__
 * [[image:tan_igual_1.png]][[image:aa.PNG width="36" height="61"]][[image:alfas.PNG]] [[image:rx.png]]225º** ||

sin α = __b__ ——→ b = r sin α cos α = __a__ ——→ a = r cos α r r Ejemplo:



OPERACIONES EN FORMA POLAR ** Para sumar o restar números complejos es más fácil hacerlo de forma binómica, en cambio en la multiplicación y la división resulta más sencillo hacerlo de forma polar.


 * Multiplicación **

Tenemos //z = rα // //y// //v = sβ // que son dos números complejos:
 * Se multiplican los módulos.
 * Se suman los argumentos.

Ejemplo:



División ** Para realizar la división en forma polar se hace de la siguiente forma: -Se dividen los módulos> r/r' -Se restan sus algumentos.-> //α-// α'

Tenemos el número z anterior:
 * Potenciación**


 * Elevam os el modulo al exponente(n) de la potencia.
 * Multiplicamos el argumento por el exponente(n).

1. Cual ha de ser el valor de p para que el número complejo 1/5 + (p-2)i sea un número real.** Parte imaginaria: (p-2)i (p-2) = 0 p = 2
 * Ejercicios:

a) x** ² **+ 49 =** 0 x² = -49 x = √-49 x = +7i x = -7i x ² = -25/16 x = √-25/16 x = +5/4i x = -5/4i x ² + 18 = 0 x = √-18 x = +√18 i x = -√18 i
 * 2. Resuelve, en el conjunto de los números complejos, las equaciones siguientes:
 * b) 16x** ² **+ 25 = 0**
 * c) -x**** ² + x + 1 = 0 **

Calcula: a) z1 - 3z2** 2- 1- 3(-3i) = 2-i+9i = 2+8i 3(-4/3+3i) - (-3i) - (2-i) = -12/3+9i+3i-2+i = -4+9i+3i-2+i = -6+13i (2-i)-3i = -6i+3i ² = -6i-3
 * 3. Dados los números complejos: z1 = 2-1 ; z2 = -3i i z3 = -4/3+3i
 * b) 3 · z3 - z2 - z1**
 * c) z1 · z2**

z1 = 2 90º** sin90º = b/r sin90º = b/2 b = 2sin90º b = 2 cos90º = a/r cos90º = a/2 a = 2cos90º a = 0 z1 = 2 90º = 2i sin135º = b/r sin135º = b/4 √2 b = 4√2sin135º = 4√2 · √2/2 = 8/2 = 4 cos135º = a/r cos135º = a/4 √2 a = 4√2cos135º = 4√2 · (-√2/2) = -8/4 = -4 z2= a√2 135º = -4 + 4i
 * 4. Pasa a forma binomica.
 * z2 = 4** **√2 135º**

a) z = i(1+i)² =** i(1**²**+2i+i**²**) = i(1+2i-1) = i+2i**²**-i = -2 Tomando en cuenta que, se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número //i// o unidad imaginaria, definido como
 * 5. Calcula:
 * b) z = (** **√2+√3i)² - √6i) = √**2**²**+2**√**6i+**√**3**²**i**²**-**√**6i = 2+2**√**6i+3(-1)-**√**6i = 2+**√**6i-3 = -1+**√**6i
 * Unidad imaginaria:**
 * Unidad imaginaria:**
 * Unidad imaginaria:**
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/1/b/2/1b254634537571777ff7330fa2ef4343.png caption="(a, 0) cdot (0, 1) = (0, a)"]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/c/7/6/c7619f4642b6e455ab0bfa44a4184f9e.png caption="mathrm{i} = (0, 1) ,!"]] ||

De donde se deduce inmediatamente que,
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/4/a/9/4a99799e35b964ee99ab39ced3d64889.png caption="mathrm{i}^2 = mathrm{i} cdot mathrm{i} = (0, 1) cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1 "]] ||

-Conjugado de un número complejo:
Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados. El //conjugado// de un complejo //z,// denotado como
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/a/e/b/aeb40cbdb272a100ccde4a4581e6a7e4.png caption="bar{z}"]] ||
 * Es un nuevo número complejo, definido así:


 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/f/f/1/ff17811234091356499ab6024ca8bca1.png caption="bar{z} = a - mathrm{i}b Longleftrightarrow z = a + mathrm{i}b "]] ||

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.
 * **Elemento neutro:0=(0,0) ** ||
 * **Elemento opuesto:-z=(-x,y) ** ||
 * **Elemento unidad:1= (1,0) ** ||
 * **Elemento inverso: ****1/z ** ||

En esta representación, || textstyle{r}
 * ||  || == 3.Módulo y argumento: ==

es el **módulo** del número complejo y el ángulo es el **argumento** del número complejo.
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/d/f/8/df8c585c10280549c41146e07581dc5f.png caption="textstyle{phi}"]] ||
 * textstyle{phi} ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/e/9/9/e9996ddb257087b0cf863d2dcf48612b.png caption="textstyle{phi} =arctan left(frac{b}{a}right) =arctan left( frac{hbox{Im}(z)}{hbox{Re}(z)}right)"]] ||
 * textstyle{phi} =arctan left(frac{b}{a}right) =arctan left( frac{hbox{Im}(z)}{hbox{Re}(z)}right) ||

Formamos un triángulo rectángulo, con //r// como hipotenusa, y con catetos //a// y //b//. Vemos que:
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/8/0/c/80cd9d2d064b7afe39673b61f4eaedef.png caption="sin phi = frac{b}{r}"]] ||
 * sin phi = frac{b}{r} ||


 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/b/b/4/bb4730e94896900b1ff9a6265091c357.png caption="cos phi = frac{a}{r}"]] ||
 * cos phi = frac{a}{r} ||

Despejamos //a// y //b// en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/9/7/7/97769234e2585d116801e821d1e8148d.png caption="z =a + mathrm{i}b ;; z =rcos{phi} + mathrm{i}rsin{phi}"]] ||
 * z =a + mathrm{i}b ;; z =rcos{phi} + mathrm{i}rsin{phi} ||

Sacamos factor común //r//:
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/9/a/e/9ae901539934d912c7013f41e7a81a17.png caption="z = r left( cos{phi} + mathrm{i}sin{phi} right)"]] ||
 * z = r left( cos{phi} + mathrm{i}sin{phi} right) ||

Puede observarse que para definir un número complejo tanto de forma polar como con la binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

4.Operaciones:
4.1. Forma polar:

La multiplicación:
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/2/8/3/2832e9d81e6459091c5fcf7d892c97b1.png caption="z_1 z_2 =rse^{mathrm{i}(phi + psi)} Leftrightarrow z_1 z_2 =r e^{mathrm{i}phi} s e^{mathrm{i}psi}"]] ||
 * z_1 z_2 =rse^{mathrm{i}(phi + psi)} Leftrightarrow z_1 z_2 =r e^{mathrm{i}phi} s e^{mathrm{i}psi} ||

División:
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/8/0/a/80adfec76cc9d65c8474e02d572ac5a6.png caption="frac{z_1}{z_2} =frac{r}{s} e^{mathrm{i}(phi - psi)}"]] ||
 * frac{z_1}{z_2} =frac{r}{s} e^{mathrm{i}(phi - psi)} ||

Potenciación:
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/6/9/6/6962e825d1b1a6b4462c9334bb98e46f.png caption="z^n =r^n e^{mathrm{i} phi n} Leftrightarrow z^n =left( r e^{iphi} right)^{n}"]] ||
 * z^n =r^n e^{mathrm{i} phi n} Leftrightarrow z^n =left( r e^{iphi} right)^{n} ||


 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/b/9/c/b9c44e834947f1d97a101b9325e74edb.png caption="z^n =(a + bmathrm{i})^n ={n choose 0}a^n + {n choose 1} a^{n-1}bmathrm{i} + {n choose 2}a^{n-2}left (b mathrm{i} right)^2 + ldots + {n choose {n-1}}aleft (b mathrm{i}right )^{n-1} + {n choose n}left(bmathrm{i} right)^n"]] ||
 * z^n =(a + bmathrm{i})^n ={n choose 0}a^n + {n choose 1} a^{n-1}bmathrm{i} + {n choose 2}a^{n-2}left (b mathrm{i} right)^2 + ldots + {n choose {n-1}}aleft (b mathrm{i}right )^{n-1} + {n choose n}left(bmathrm{i} right)^n ||

4.2. Forma binómica:

Suma __(a,b) + (c,d) = (a + c) + (b + d)i__

Multiplicación __(a,b) · (c,d) = (ac - bd) + (ad + cb)i__

Igualdad __(a,b) = (c,d) // a = c y b = d__

División:__

(a + bi) : (c - di) = (a + bi) · (c + di) : (c - di) · (c + di)