Funciones

Definición:
La relación de dependencia entre dos variables es la función, por cada valor real de la variable independiente, existe un solo valor real de la variable independiente.

· Variable independiente. Es la que se fija primero. Se le suele asignar la letra x.
· Variable dependiente. Es la que se deduce de la variable independiente. Se suele designar con la letra y, o como f(x).

Dominio de una función:
Es el conjunto de todos los valores reales de la variable independiente (x) que tienen por imagen un nombre real. Se expresa así:
external image latex2png.2.php?z=100&eq=Dom%20f%28x%29
Recorrido de una función:
El conjunto de todas las imágenes reales de la función es el recorrido o rango de la función (valores de la variable dependiente Y).

Ejemplos:
- Encuentra el dominio de las funciones racionales siguientes:

external image latex2png.2.php?z=100&eq=a%29%20f%28x%29%3D%5Cfrac%7B3x%5E2%20%2B5x%7D%7Bx%5E2%20-1%7D
external image latex2png.2.php?z=100&eq=b%29%20f%28x%29%3D%5Cfrac%7B2x%5E3%20%2B9x%2B4%7D%7Bx%5E2%20-10x%2B16%7D
external image latex2png.2.php?z=100&eq=c%29%20f%28x%29%3D%5Cfrac%7B2x%5E4%20%2B6x%5E2%20%2B1%7D%7Bx%5E2%20%2B16%7D
external image latex2png.2.php?z=100&eq=d%29%20f%28x%29%3D%5Cfrac%7B2%2Bx%7D%7B%5Csqrt%7B3-x%7D%7D
En los tres primeros casos, el valor sin imagen sería el valor de X que anula el denominador, es decir, que lo reduce a 0. De forma que los dominios serían:

external image latex2png.2.php?z=100&eq=a%29%20Dom%20f%28x%29%3D%5CRe-%5B-1%2C1%5D
external image latex2png.2.php?z=100&eq=b%29%20Dom%20f%28x%29%3D%5CRe-%5B2%2C8%5D
external image latex2png.2.php?z=100&eq=c%29%20Dom%20f%28x%29%3D%5CRe

Sin embargo, en el último caso el valor sin imagen seria el valor de x por el cual la función quedaría con raíz negativa. De forma que el dominio sería:
external image latex2png.2.php?z=100&eq=d%29%20Dom%20f%28x%29%3D%20%28-%5Cpropto%2C3%29

Tipos de funciones algébricas:

->Polinómicas:
external image latex2png.2.php?z=100&eq=f%28x%29%3Dx%5E4%20%2B3x%5E3-%205x%5E2-6x%2B14%20
La función lineal, la función afín i la función cuadrática son ejemplos de funciones polinómicas. El dominio de estas funciones son todos los números reales.

->Racionales:

external image latex2png.2.php?z=100&eq=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B6x%5E3-%208x%5E2-7%20%7D%7Bx%5E2%20-2%7D
Para que las imágenes sean nombres reales, necesitamos que el denominador de la fracción no sea 0, de manera que, el domino estará formado por todos aquellos números reales excepto de aquellos que anulan el valor del denominador.

->Irracionales:

external image latex2png.2.php?z=100&eq=f%28x%29%3D%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%20-4%7D
Son funciones en las que no todas las imágenes son números racionales, pero sí que son números reales. Su expresión algébrica viene dada por una raíz. El dominio de una función irracional está determinado por el índice de la raíz.
-Índice par: el dominio es igual a todos los nombres reales de forma que el radicante de la raíz que no sea negativo.
-Índice impar: el radicante puede ser positivo, negativo o cero.

->Definidas a trozos: A partir de más de una expresión.



Tipos de funciones:

->Segun la pendiente:

-Si la pendiente de una recta es positiva, la función es creciente.
-Si la pendiente de una recta es negativa, la función es decreciente.


->Segun la recta:

Dadas dos rectas, Ax + By + C = 0, A'x + B'y + C' = 0, para calcular su posición relativa tendremos en cuenta:

-Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.
Si
razón
razón
, las rectas paralelas, no se cortan en ningún punto.


0_17.gif

-Dos rectas son secantes si sus pendientes son distintas.

Si
razón
razón
, las rectas son secantes, se cortan en un punto.
Por tanto, los coeficientes de x e y respectivos no son proporcionales.


0_15.gif
Si
razón
razón
, las rectas son coincidentes, todos sus puntos son comunes.
0_16.gif




Ejercicios de Funciones: Ecuaciones Lineales.


1) Hallar la ecuación general de la recta que en el plano XY satisface las siguientes condiciones:
a) Pasa por el punto P(1;2) y tiene pendiente m = 2.
b) Pasa por los puntos P(3;-2) y Q(-1;4).
c) Pasa por el punto S(-1;-2) y tiene pendiente m = -3/5.

Respuesta: a) y - 2.x = 0
b) 2.y + 3.x - 5 = 0
c) 5.y + 3.x + 13 = 0

2) Hallar las ecuaciones implícita y explícita de las siguientes rectas:
a) Pasa por el punto P(2;2) y es paralela a la recta de ecuación 3.x - 2.y + 1 = 0.
b) Pasa por el punto P(-1;3) y es perpendicular a la recta de ecuación -3.x/2 + 5.y/6 - 8 = 2.
c) r pasa por el punto Q(2;3) y r´ pasa por el punto Q´(-2;-3), sabiendo que son perpendiculares.


Respuesta: a) y = 3.x/2 - 1
b) y = -5.x/9 + 13/9
c) y = ± 3 y x = ± 2

3) Hallar los puntos de intersección:
r: x + y + 1 = 0
r´: x - y + 1 = 0

Respuesta: P(-1;0)
4) Hallar la distancia del punto Q(-2;-3) a la recta de ecuación 8.x + 15y - 24 = 0.
Respuesta: d = 5,31
5) Hallar el valor del parámetro k de modo tal que la recta de ecuación 2.k.x - 5.y + 2.k + 3 = 0:
a) Pase por el punto P(3;-2).
b) Tenga pendiente m = -1/2.
c) Tenga ordenada al origen 3.
d) Pase por el origen de coordenadas.
e) Sea paralela al eje x.

Respuesta: a) k = -13/8
b) k = -5/4
c) k = 0
d) k = -3/2
e) k = 0



Ejercicios:
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