1. 2.png

Trigonometría.


La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

1. Razones trigonométricas.


Como que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo son:


  • Sin: entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
  • Cos: entre el cateto contínuo al ángulo y la hipotenusa.
  • Tangente: entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contínuo.
  • Cotangente: entre el cateto contínuo al ángulo y el cateto opuesto.
  • Secante: entre la hipotenusa y el cateto contínuo al ángulo.
  • Cosecante: entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo


"Razones trigonométricas directas"
"Razones trigonométricas directas"
"Razones trigonométricas inversas"
"Razones trigonométricas inversas"



2. Signos de las razones trigonométricas.

El signo depende en el cuadrante que se halle las funciones trigonométricas pueden ser possitivas o negativas.

sin
cos
tag
cotag
secante
cosecante
1º Cuadrante
+
+
+
+
+
+
2º Cuadrante
+
-
-
-
-
+
3º Cuadrante
-
-
+
+
-
-
4º Cuadrante
-
+
-
-
+
-

"Sin en los distintos cuadrantes"
"Sin en los distintos cuadrantes"
"Cos en los distintos cuadrantes"
"Cos en los distintos cuadrantes"

tangent.jpg
tan en los distintos cuadrantes



3. Reducción al primer cuadrante.
Si el ángulo se halla en el segundo cuadrante, se realiza la siguiente operación:
180-α
Si el ángulo se halla en el tercer cuadrante, debemos hacer:
α-180
Si el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante, haremos:
360-α

4. Relación entre las razones trigonométricas.

sincos.png
tgsincos.png
cosec.png
sincosec.png
tagsec.png
cotagcosec.png
cossin.png
coscos.png

5. Principales razones trigonométricas








30º
45º
60º
90º
180º
270º
360º
sin
0
1 /2
√2/2
√3/2
1
0
-1
0
cosexternal image c7f3afd0d823773fb73b2f1760e51629.png
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1
0
1
tagexternal image c7f3afd0d823773fb73b2f1760e51629.png
0
√3/3
1
√3

0
-
0
cosecexternal image c7f3afd0d823773fb73b2f1760e51629.png

2
√2
(2√3)/3
1
-1
-1
-∞
secexternal image c7f3afd0d823773fb73b2f1760e51629.png
1
(2√3)/3
√2
2

-1

1
cotagexternal image c7f3afd0d823773fb73b2f1760e51629.png

√3
1
√3/3
0
0
0
0

6. Teoremas del Coseno y del Seno:



Teorema del coseno:

En todo triangulo, el cuadrante de un lado es igual a la suma de los cuadrantes de los otros dos, menos el doble del producto de estos lados por el cosenodel ángulo que forman.

external image latex2png.2.php?z=120&eq=a%5E2%3Db%5E2%20%2B%20%20%20%20%20c%5E2%20-2bc%20cos%5Cgamma;
external image latex2png.2.php?z=120&eq=b%5E2%3Da%5E2%20%2B%20%20%20%20%20c%5E2%20-2ac%20cos%5Cgamma;
external image latex2png.2.php?z=120&eq=c%5E2%3Da%5E2%20%2B%20%20%20%20%20b%5E2%20-2ab%20cos%5Cgamma.

Teorema del seno:

En todo triangulo, las longitudes de los lados son directamente proporcionales al seno de los ángulos que se oponen.

external image latex2png.2.php?z=120&eq=%5Cfrac%7Ba%7D%7Bsin%5Calpha%7D%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Bsin%5Cbeta%7D%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Bsin%5Cgamma%7D

Ejemplo de ejercicio teorema del seno.

Resolemos el triangulo del cual conocemos dos ángulos y el lado opuesto a uno de estos ángulos: A=75º, B=60º i a= 10 cm.

7. Ejemplo y resolución:



Primero, calculamos el tercer ángulo del triangulo:

C= 180º - (75º + 60º) = 45º

Substituimos el valor de los elementos conocidos en la expresión del teorema del seno:
external image 4697b81cff5bc4e7976bef3c9447da48.png

external image 46c651c78426945f1f14a2c6d8769df9.png


Aislamos b i c i en calculamos el valor:
external image ae8868b00ca8a2fed0f26e6ffab6c254.png external image c48009b88859ddbb22ccd818138ead8f.png

Y así, ya hemos resuelto el triángulo.

1.De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.
1_1.gif

1_3.gif1_5.gif1_4.gif




Un árbol se ve desde un cierto punto bajo un ángulo de 36º y, si nos acercamos 35 m, se ve bajo un ángulo de 45º. Calcula la altura del árbol.

rbol.jpg


Solución: 102'11m











Video donde te explica como resolver problemas de trigonometria:




Conforme el video avanza, los problemes van siendo más complexos.

_

8.-Identitades trigonometricas


Ejemplo de resolución


Tenemos que resolver la siguiente identidad:

1.JPG
Para resolverla, desenvolupamos las dos partes de la igualdad para intentar obtener el mismo resultado en ambas:

2.JPG

3.JPG
4.JPG
Finalmente, vemos como la igualdad si se cumple.

Resuelve les siguientes identidades trigonométricas:


  1. 1_.1.gif
  2. 2.1.gif
  3. 3.1.gif
  4. 4.1.gif
  5. 5.1.gif

Solució:

  1. 1.2.gif1.3.gif
  2. 2.2.gif2.3.gif
  3. 3.2.gif
  4. 4.2.gif
  5. 5.2.gif

Estos problemas estan extraidos de la página http://www.vitutor.com

El video esta extraido de la página de youtube del usuario asesoriasdematecom: http://www.youtube.com/user/asesoriasdematecom

Aqui os dejamos unos problemas de razones trigonométricas subidos al Slideshare.


Aqui os dejamos este ejercicio más de identidades para simplificar:
external image prtrig07.gif
Ésta identidad la hemos encontrado en la página de http://personal.redestb.es/javfuetub/varios/problemas/prtrigo.html

8.1 Identitats trigonomètriques:

Una igualtat trigonomètrica és una identitat si, a partir del desenvolupament d'un dels dos membres s'obté l'altre membre, o bé, si desenvolupant per separat cada membre, s'arriba a una mateixa expressió. Moltes vegades cal utilitzar igualtats trigonomètriques ja conegudes per iniciar, seguir o completar el desenvolupament del membre o membres de la igualtat. Les fórmules d'addició i les de transformació de sumes en productes que ja hem estudiat a la unitat de trigonometria són exemples d'identitats trigonomètriques.
Les identitats són útils quant cal simplificar expressions en què intervenen funcions trigonomètriques. També són la base per a calcular els valors de les funcions trigonomètriques.
Hi ha equacions trigonomètriques que no tenen solució. Per exemple, l'equació sin3x=2 no té solució, ja que el sinus de qualsevol angle ha de ser sempre un número que pertanyi a l'interval [-1, 1].
Abans d'iniciar les identitats trigonomètriques cal tenir present les raons trigonomètriques següents:
85e4f72d337260ff236a10b8c431f420.gif
da203c18e23bf3227264954081cea83b.gif
508001de4e2a46131a0c71f8b75107ac.gif

400a8136bc5849dfd2ddadd66376740f.gif

1. Verifica la següent identitat:

611ff4d8146657a7ff515c30724990d9.gif
1.gif

3.gif


2. Aquesta igualtat, és una identitat?
dksdss.gif
aaa.gif

cccc.gif
L'anterior igualtat no és una identitat.

3. Digues si aquesta igualtat és una identitat:
1.JPG
2.JPG

Són identitats

4. Comprova que l'igualtat 1.pngés una identitat:

Resolució:
Desenvolupant el primer membre tenim:

identitat.JPG

Fixa't que hem utilitzat les igualtats trigonomètriques:

3.png

5. Demostra la igualtat següent:

Imatge_nova.JPG
rndeklfdsfds.JPG
dsfmfñkwmfrwetrweweerrrrrrrrr.JPG