2. Polinomios



Esta expresión:

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Es un polinomio. Cada término de un polinomio se llama monomio . Un polinomio formado por dos monomios es un binomio. Si son tres los monomios, como en este caso, se llaman trinomios , y si son más, se llaman polinomios. El exponente de la potencia más grande de xy que hay en el polinomio se denomina grado del polinomio.

Valor Numérico de un polinomio.


El valor numérico de un polinomio es el nombre que resulta de sustituir la indeterminada x por el número a y efectuar las operaciones indicadas a la expresión del polinomio.

Ejemplo:

Consideremos el polinomio: 3x³ + 2x² + 3x + 2
y calculemos el valor numérico para X = -2; es decir P(-2);
P(-2)= 3(-2)³ + 2(-2)² + 3(-2) + 2 = -24 + 8 -6 +2 = -20

Identidad de polinomios


Dos polinomios de la misma indeterminada son idénticos si tienen iguales los coeficientes del mismo grado.

Suma y resta de polinomios


Suma: La suma de dos o más polinomios es otro polinomio,los terminos del cual se encuentran sumando los correspondientes terminos del mismo grado de cada uno de estos polinomios.

- Ejemplo: Efectua la suma de estos dos polinomios.
A(x) = 3x³ + x² + 2x + 1
B(x) = 3x³ + 2x² + 3x + 2

A(x) + B(x)= 3x³ + x² + 2x + 1 + 3x³ + 2x² + 3x + 2 = 6x³ + 3x² + 5x + 3

Resta: La resta de dos polinomios da como resultado otro polinomio, que s'obtiene de sumar el primero (minuendo) con el opuesto del segundo (substraendo).

- Ejemplo: Efectua la resta de estos dos polinomios.
A(x) = x³ - 3x² + 5x - 2
B(x) = 4x³ - 2x² - 2x

A(x) - B(x)= x³ - 3x² + 5x - 2 - 4x³ + 2x² + 2x = - 3x³ - 1x² + 7x - 2

Multiplicación de polinomios


-Multiplicar cada componente de un polinomio por cada componente del otro, de manera que el grado de las partes literales se suma y los coeficientes se multiplican.
A continuación sumar los coeficientes de las partes literales con el mismo grado.

-Ejemplo: Efectua la multiplicación de estos dos polinomios

A(x) = 2x - 3
B(x) = x² + 4x


A(x)·B(x)= 2x· x² - 3 · x² + 2x · 4x - 3 · 4x = 2x³ - 3x² + 8x² - 12x = 2x³ + 5x² - 12x







Regla de Ruffini

Ejemplo: Efectuar la regla de Ruffini en el polinomio P(x)

P(x) = x³ -7x + 6

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División de polinomios mediante Ruffini


-Escribimos los coeficientes del polinomio dividendo por grados, si falta algún grado entre los componentes dejamos un hueco.
-Colocamos el término independiente del divisor (+2) cambiado de signo (-2), o lo que es lo mismo, el valor numérico que anula el divisor.

Ejemplo: Dividir P(x) entre R(x)

P(x) = 2x³ - 1x² - 10
R(x) = x + 2


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El residuo es -30

Solo podemos utilizar la Regal de Ruffini para dividir cuando el divisor tiene la forma: (x+a) o (x-a)

Raíces de un polinomio

Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) por x=a es cero, P(a)=0. En este caso el polinomio P(x) es divisible por x-a, y esto es un factor de P(x).Para encontrar las raíces de un polinomio hay que igualar el polinomio a 0 y así convertirlo en una ecuación donde tenemos que hallar la X.
- Dependiendo del polinomio se hace de distinta forma:

1. Polinomios de 1r grado

-Ejemplo: Hallar las raíces de este polinomio

Hallar la X de: C(x) = -x + 2
C(x) = 0 -> -x + 2 = 0 -> x = 2

x = 2 és una raíz de C(x), por lo tanto C(2) = -2 + 2 = 0


2. Polinomios de 2ndo grado

-Ejemplo: Hallar las raices de este polinomio.

D(x) = 3x² + x - 4
D(x) = 0 -> 3x² + x - 4 = 0

7.png
4.png 1.png

x = 1 y x = 1.pngson raíces de D(x).


3. Polinomios de 3r grado o superior

a) Si no tienen la indeterminada sacamos factor común:
Hallar la X de: J(x) = x³ - 5x² + 6x
Extraemos factor común: x (x² - 5x + 6)
x = 0 ; x² - 5x + 6 creamos una ecuación de 2n grado.



fg.png=> x=3 ; x=2

Por lo tanto las raíces de este polinomio son x=3, x=2 y x=0.



b) Si te dan la indeterminada:

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Tenemos que aplicar el método de Ruffini para encontrar una raíz del polinomio y así averiguar las dos raíces restantes mediante una ecuación de segundo grado. Usamos como dividendo del polinomio todos los divisores de la indeterminada, en este caso 6:

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Se aconseja comenzar probando con el +1, ya que hay más posibilidades de que sea una raíz.

Una vez hecho el método de Ruffini hemos encontrado una raíz, x=1
Los coeficientes del cociente han sido:

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Ahora resolvemos este polinomio mediante una ecuación de segundo grado:


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El polinomio tiene 3 raíces:


Estas raíces, como podemos comprobar, son divisores de 6



Factorización de polinomios:

La factorización de un polinomio se consigue cuando se pueden encontrar otros polinomios (los factores) de modo que su poroducto sea el polinomio que teníamos inicialmente. Para factorizar un polinomio podemos utilizar diferentes estrategias:

  • Extraer factor común:
Si en cada uno de los términos de un polinomio hay un factor común y lo extraemos, el polinomio inicial queda descompuesto en producto de dos factores.
P(x) = 3x3 – 6x2 + 27x = 3x (x2 – 2x + 9)
Este método sólo es factible cuando hay un factor común.


  • Identificar igualdades notables:
Tenemos el polinomio A(x) = 16x4 + 24 x2 + 9 para identificar las igualdades notables:
Analizamos cada término: 16x4 = (4x2)2 ; 9 = 32 ; 24x2 = 2 · 4x2 ·3
Por tanto: A(x) = (5x2 + 3)
Otro ejemplo es:
B(x) = x2 – 1 = (x + 1)(x – 1)



  • Determinar las raíces del polinomio:

Aquí os dejo un vídeo que puede ayudaros al factorizar un polinomio determinando sus raíces mediante el método de Ruffini.


Nota: Cuando, por factorización, llegamos a una ecuación de segundo grado, podemos encontrar las raíces mediante la fórmula de la ecuación de segundo grado