Matrices


Matrices.jpg
Matriz numérica: Conjunto de números colocados en filas y en columnas.


Matriz_ej.png mxn


Matriz de orden (m,n): Conjunto de números reales, dispuestos en filas m, i en columnas n. Cada uno de los números que consta la matriz es un elemento, que se distingue entre los otros, por su posición.

Subíndices: Cada elemento tiene unos subíndices que sirven para indicar su posición dentro de la matriz. El primer indica la fila, y el segunda indica la columna.

• Orden de la matriz: El número de filas y columnas de una matriz determina el orden de la matriz. El orden de la matriz está determinado por un par de números naturales; m y n.

external image d25cb26b9c61b65bd7537601318a61a1.png figura 1.1

Las filas son los números dispuestos en m horizontales. En el ejemplo, la primera fila estaría formada por los números [ 1 2 3 ].
Las columnas son los números dispuestos en n verticales. En el ejemplo, la primera columna estaría formada por los números [ 1 1 4 6 ].

Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de números dispuestos en m filas y n columnas.
Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una matriz 4x3. Se clasifica así porque la matriz contiene 4 filas y 3 columnas.

Si queremos señalar un elemento de la matriz, estos se distinguen por su posición, la cual queda definida por su fila y su columna.
Por ejemplo, si queremos dar la posición del número 7 (figura 1.1), sería de la siguiente forma:

am,n es a2,3

m indica la fila en la cual se encuentra el número. Pasa exactamente lo mismo n, que indica la columna en la que se encuentra.

1.Tipos de matrices.




1.1 Matriz fila.

Las matrices de una sola fila, se denominan matrizes fila.

fila.png

1.2 Matriz columna.

Las matrices de una sola columna, se denominan matrices columna.

columna.png


1.3 Matriz nula.

Las matrices con todos los elementos cero, se denomina matrices nula.

nula.png

1.4 Matriz Opuesta.

Se modifica el símbolo de cada elemento por su opuesto.
external image T6_Image9.gif

1.5 Matriz traspuesta.

La matriz que se obtiene de intercanviar filas por columnas en una matriz, se demina matrices traspuestas. Si el orden de A es (m, n), el orden de su traspuesta a_t.png sera ( n, m).

abcd.png
Matriz
acbd.png
Matriz traspuesta


2. Operaciones con matrices.


2.1 Suma.

Las matrices se pueden sumar y restar entre sí, con la condición que sean del mismo orden. La suma se obtiene sumando los elementos de dos matrizes que pertenecen a la misma fila y a la misma columna. Dada las matrices A y B del mismo orden, la matriz sumante se obtiene sumando cada término de A correspondiente en B:

suma.png
sumante.png
Resultado de A+B


Propiedades de la suma:
  • Asociativa: (A+B)+C = A + (B+C)
  • Conmutativa: A + B= B + A
  • Elemento neutro: A + 0 = A
  • Elemento simétrico: A - B = A + ( - B )

2.2 Producto por un escalar.

Con un nombre real k y la matriz A de orden (m,n), definimos el producto de K por A el producto de cada elemento que les forma cada uno. Igual que la siguiente forma:
K= 2 abcd.png
2A.png
Resultado


Propiedades del producto escalar:
  • k ( A + B ) = kA + kB
  • ( k + h )A = kA + hA
  • k ( hA) = ( kh ) A
  • 1A = A

2.3 Producto de matrices

El producto entre dos matrices es la suma de los productos de los elementos de las filas y columnas, según el subíndice. Para poder realizar el producto es obligatorio que se cumpla una condición; el nombre de filas m de la matriz A sea el mismo número de columnas p de la matriz B. El orden del resultado de este producto será el número de filas de A y el nombre de columnas de B.



a_por_b.png





Propiedades del producto:
  • Asociativa: ( AB ) C = A ( BC )
  • Distributiva: A ( B + C ) = AB + AC | ( A + B) C = AC + BC
  • No Conmutativa: AB no es igual a BA. Sólo se cumple en determinados casos (y a estas matrices se les llama permutables)

Pongamos un ejemplo:
Dadas las matrices Matriu_A.png y MAtriu_B.png encuentra AB:

Solución:

p1.png

p2.png

p3.png

p4.png
Solución




3. Matriz inversa

Una matriz inversa, como su propio nombre indica es el inverso de esta, de esta forma tenemos external image sistem16.gif. El calculo de una matriz es correcto cuando se verifica que:
external image tmatrizinversa3.gif


Se podria poner algo para que se viera más, ya que este enlaza en su página propia

Enlaces.
  • Practica de Álgebra matricial on-line haz click aquí.