¿Qué es un logaritmo?

Es la función inversa de la función exponencial de base a, de manera que el numero y tal que ay = x, recibe el nombre de logaritmo, en base a del numero x.
Se expresa:
Imatge_nova.PNG

La igualdad anterior, nos permite calcular algunos logaritmos de manera immediata. Por ejemplo:
  • Imatge_nova2.JPG
  • Imatge_3.JPG

Concepto de la funcion logarítmica
external image moz-screenshot-1.pngexternal image moz-screenshot-3.pngexternal image moz-screenshot-4.png

Propiedades


  • El logoritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
propietat_1.JPG
  • El logaritmo de una división es igual a la resta de logaritmos:
propietat_2.JPG
  • El logaritmo de una poténcia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la poténcia:
propietat_3.JPG
  • El logaritmo de un radical es igual al exponente dividiendo al logaritmo:
propietat_4.JPG
A continuacion os ofrecemos un video en el cual explica estas propiedades y algunas otras que resultan interesantes. Para ver el video pulse aqui.

Cambio de base


Se puede llevar a cabo el cambio de base siguiendo la relación siguiente:

canvi_de_base.JPG

Otras propiedades


  • Tiene límites infinitos en 0+ i +infiinit.JPG.
  • El limite de cualquier logaritmo de numero 1 es igual a 0:
1010101.JPG donde a es cualquier numero.
  • Un logaritmo de la misma base y del mismo numero es igual a 1: 21212121212.JPG

Ejemplos de logaritmos aplicados en la vida real


Un ejemplo de uso de los logaritmos es por ejemplo, si conoces la tasa de crecimiento promedio de una poblacion, y quieres saber cuántos años tardará en llegar a cierta cantidad (por ejemplo duplicarse) necesitas el logaritmo. Para que entiendas este ejemplo, dada una población (base) y otra cantidad a la que hay que llegar (potencia), cuántas veces hay que aplicar la tasa de crecimiento (exponente) para llegar a esa catidad; lo que necesitas obtener es el exponente, por lo que usas logaritmos.

Una curiosidad de aplicaciones de logaritmos en la vida real es la siguiente, en el testamento de Benjamin Franklin, famoso científico, éste donaba 1.000 libras a los habitantes de Boston, a condición de que se prestasen al 5% a artesanos jóvenes. Según Franklin, al cabo de 100 años, se habrían convertido en 131.000 libras. Comprobemos si esto es cierto:
El capital final al cabo de esos 100 años será x = 1.000 · 1,05100. Para calcular esa enorme potencia usaremos los logaritmos:

x = 1.000 · 1,05100; log x = log 1.000 + 100 · log 1,05

log x = 3 + 100 · 0,0212 = 5,12; x = 105,12 = 131.825,67 libras

Otro beneficio de los logaritmos es en el campo de la química, ya que nos permite ahorrarnos el engorro de usar comas en numeros pequeños y a la vez nos podemos evitar poner numerosos ceros en los numeros grandes. Otro logaritmo muy famoso en el mundo de la quimica es el logaritmo de pH, que se utiliza para calcular el nivel de acideza de determinados produtos. El logaritmo es el siguiente:

log_pH.JPG

Y estos son unos ejemplos de los logaritmos en otro campo que no sea el de las matemáticas, de esta manera podemos ver la utilidad de los logaritmos y la capacidad de simplificacion con algunos numeros.

Características de las funciones logaritmicas:
-Dominio
-Recorrido
-Monotonía
-Simetría
-Intervalos
-Corvatura
-Puntos de inflexión
-Máximos relativos


Ejemplos de ejercicios


1.Desarrolla aplicando logaritmos decimales la expresión enunciat_1.JPG:

ex_1.JPG




2. La expresión enunciat_2.JPGproviene de haver aplicado logaritmos neperianos a una cierta igualdad. De que igualdad se trata?

ex_2.JPG
resolucio_2.JPG


Ejercicios de práctica


1.Calcular :

1 ) log 2 8 = R : 3
2 ) log 3 9 = R : 2
3 ) log 4 2 = R : 0,5
4 ) log 27 3 = R : 1 / 3
5 ) log 5 0,2 = R : - 1
6 ) log 2 0,25 = R : - 2
7 ) log 0,5 16 = R : - 4
8 ) log 0,1 100 = R : - 2
9 ) log 3 27 + log 3 1 = R : 3
10 ) log 5 25 - log 5 5 = R : 1
11 ) log 4 64 + log 8 64 = R : 5
12 ) log 0,1 - log 0,01 = R : 1
13 ) log 5 + log 20 = R : 2
14 ) log 2 - log 0,2 = R : 1
15 ) log 32 / log 2 = R : 5
16 ) log 3 / log 81 = R : 0,25
17 ) log 2 3 ´ log 3 4 = R : 2
18 ) log 9 25 ¸ log 3 5 = R : 1

2.Determinar el valor de x :

1 ) log 3 81 = x R : 4
2 ) log 5 0,2 = x R : - 1
3 ) log 4 64 = ( 2 x - 1 ) / 3 R : 5
4 ) log 2 16 = x 3 / 2 R : 2
5 ) log 2 x = - 3 R : 1 / 8
6 ) log 7 x = 3 R : 343
7 ) log 6 [ 4 ( x - 1 ) ] = 2 R : 10
8 ) log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2 R : 3
9 ) log x 125 = 3 R : 5
10 ) log x 25 = - 2 R : 1 / 5
11 ) log 2 x + 3 81 = 2 R : 3
12 ) x + 2 = 10 log 5 R : 3
13 ) x = 10 4 log 2 R : 16
14 ) x = log 8 / log 2 R : 3
15 ) x = log 625 / log 125 R : 4 / 3
16 ) log ( x + 1 ) / log ( x - 1 ) = 2 R : 3
17 ) log ( x - 7 ) / log ( x - 1 ) = 0,5 R : 10

3.Si log 2 = 0,301 , log 3 = 0,477 y log 7 = 0,845 , entonces :

1 ) log 8 = R : 0,903
2 ) log 9 = R : 0,954
3 ) log 5 = R : 0,699
4 ) log 54 = R : 1,732
5 ) log 75 = R : 1,875
6 ) log 0,25 = R : - 0,602
7 ) log ( 1 / 6 ) = R : - 0,778
8 ) log ( 1 / 98 ) = R : - 1,991
9 ) log ( 1 / 36 ) = R : - 1,556
10 ) log ( 2 / 3 ) = R : - 0,176
11 ) log 0,3 = R : - 0,523
12 ) log 1,25 = R : 0,097

4.Haya el valor de x de los siguientes logaritmos.

prob_a.JPG

prob_b.JPG

prob_c.JPG

prob_d.JPG

prob_e.JPG

prob_f.JPG

Solucions:

res_a.JPG .....................res_c.JPG.......................res_e.JPG

res_b.JPG.......................res_d.JPG......................res_f.JPG


5.Calcula els logaritmes següents:

a) log232=
b) log5625=
c) log 1000=
d) log381=
e) ln e3=
f) log 105=
g) ln ex=
h) log264=
i) log3729=

6.Troba el valor de “x” a les següents expressions:

a) logx32=5
b) logx36=2
c) logx81=2
d) logx49=2
e) logx5=1/2

7.-Expressa els següents logaritmes en funció de log2:

a) log 64=
b) log 1/16=
c) log 5=
d) log 0,32=
e) log external image C:%5CDOCUME%7E1%5C090449%5CCONFIG%7E1%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image002.gif

8.-Sabent que log2=0,30103 i log3=0,47712, calcula:

a) log 4=
b) log 5=
c) log 6=
d) log 9=
e) log 18=



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