Determinantes


Los determinantes son números que corresponden a una matríz cuadrada. Así entonces, el determinante de una matriz cuadrada de A,
se simboliza |A|.



Determinantes de orden 2.


Sabiendo que A, es una matriz cuadrada de orden 2,

external image matriz_1.png




llamamos determinante de A, a su número real:

external image determinante_2.png

Es decir, el determinante de una matriz cuadrada de orden 2, es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Por ejemplo: Calcular el determinante de |A| (el resultado siempre es un número)

determinadaa.png

Para indicar que se trata de un determinante de la matriz cuadrada, se substituye con la barras verticales los parentesis que engloban la matriz.

Determinantes de orden 3.


Dada una matriz cuadrada A de orden 3,

external image matriz_2.png

se llama determinante de A, al número real:

external image determinante_3.png

Para facilitar recordarnos de este proceso, existe la Regla de Sarrus:

Esta regla consiste en multiplicar los tres elementos de la diagonal principal, posteriormente se multiplican los elementos situados sobre una línea paralela a esta diagonal; el tercer factor de este producto es el elemento situado en el vértice opuesto a esta línea.
Finalmente se suman los tres números obtenidos.
Dibujo.JPG
Se procede de manera análoga con la diagonal secundaria y las paralelas y se suman los tres resultados. Finalmente, el resultado obtenido se resta del que corresponde a la operación efectuada a partir de la diagonal principal.
Dibujo2.JPG
Ejemplo: Recordar: una matriz no es igual a su determinante

Calcula el determinante de orden 3 de |A|:

external image 713780a957d268103f47de15f7b25734.png =

=external image 2a0d06aaa18806ae616de308f51ed997.png

Primero, se multiplican 1 · 0 · 2, que es la diagonal principal. Seguidamente haces una paralela a esta diagonal principal, que podrían ser los números 2 y 1, que los unes en forma de triángulo con el -1 y los multiplicas entre sí. Y luego unes los tres números que quedan (3 3 4) y los multiplicas entre sí.
El resultado del producto de la diagonal principal, el del primer triángulo, y el del segundo triángulo se suman entre sí.
Después, se hace lo mismo, pero teniendo de referencia la otra diagonal (-1 0 4) y siguiendo el mismo proceso de antes, haciéndolo con los triángulos (3 1 1) y (3 2 2). Por último, la operación que se ha de hacer con estos tres productos, es una resta en vez de una suma.


Menor complementario



Ejemplo:

external image 1622fda8f6e0f561c12a26fd96325346.png = external image 8d5ea14301dda35a56254e9ce3fcc96e.png = 7
Para resolver este menor complementario se procede así:
1) primero se eliminan las filas y columnas que indican el subíndice de la letra; en esta caso era la primera fila y la segunda columna.
2) un vez suprimidos los elementos anteriores vemos, que no queda un determinante de orden 2; lo resolvemos y vemos que da 7
3) finalmente llegamos a la siguiente concluisión M12 = 7, esto quiere decir que el menor complementario de M12 es 7.


  • Adjunto

Aij = + - Mij
El adjunto consiste un mínimo determinante pero con un signo + o - delante. Para saber si se pone un signo positivo o negativo se hace lo siguiente:
+ = i + j = par
- = i + j = impar
Si la suma de los subíndices da un número par, delante se pondrá un positivo, peró si por lo contrario da un número impar, se pondrá un signo negativo.